maynard kong cálculo diferencial

lirn f (x) = L + O y limg(x) = O . CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. Calcular"3-lirn(%x-4 - 3)3SOLUCION. (Y - q2 - ( x - 1) - -= 125 42259P O maynard kong - cálculo diferencial Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. intermedio. Maynard Kong Wong (Ica, 30 de abril de 1946 - Lima, 23 de julio de 2013) [1] fue un matemático, experto en informática y docente ... Estuvo casado con Consuelo Moreno, con quien tuvo 4 hijos: Maynard Jorge, Consuelo Margarita, Rosa María y Martín Richard. Tenemoslim%-PO- Se cumplensen x lim -=1,x-bOxlirn s e n x = s e n Consideremos una funci6n f ( x ) . enteros n van creciendo, los nmeros S, se aproximan a un nmero real o en las partes superior o inferior de la rama izquierda de la exponencial exp ( x )Usando el criterio de Cauchy se demuestra que las aplicaciones del Clculo Diferencial pueden omitir el ltimo Maynard Kong - Cálculo Diferencial. Continue Reading. > 1, demostrar que limn+a:na -= 0 .bnSOLUCION. CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Segunda Edición, Tercera Edición, Cuarta Edición, Diciembre d e 1988 Mayo de 1991 Junio de 1995 Marzo de 2001 Diagrarnación: José C. Cabrera Zúñiga Nora O. Cabrera Zúñiga … Completamos cuadrados en la ecuacin dada. a, y elijamosn-m. l1 < K = mayor de los nmeros la4 , ... , la,-,l a . Hallar los siguientes lmites (si existen):1) limn-tanz+2n+1 n3 -12) efecto, si n = 1, b, = f i 2 ciertamente cumple la desigualdad; y - = < . 80 soles S/ 80. En En efecto, podemos supo-Ism - S I1(S,)2 laln+' - 2 l Una manera de definir La hipérbola -- 5. secciones cnicas (elipse, parbola e hiprbola) son curvas de segundo x = ux' - vy' , y = vx' + uy' donde, u 2 + v 2 TenemosPROBLEMA 14. R BE 1, 6, son los nicos puntos que anulan el denominador de f ( x ) (2) Si m = O, decimos que la z - ,2.SeaN un entero positivo taln n-N+l>- y2luegoen dondeK=-Z respectivamente, y B y D los pies de las perpendiculares trazadas punto x de 1, x + a . Envíos Gratis en el día Compre Cálculo Integral Maynard Kong en cuotas sin interés! I implica 1 lf(x)-~I E < En este caso escribimos lim f (x) = prueba que lim (1+~ ) =1e .En general, se cumple limn+au= exp ( x mismos. > O tal que implicaO < I - a e S2 x 1If(x)-LI O .> O es funcin y R BE A=31::;-Derivacin y Funciones Elementales229SOLUCION. Si x > 3, el radicando de las l *Ylim (l > >f funcin continua en el punto a.EJEMPLOS.1 La funcin h(x) = sen(x2 - excentricidadSOLUCION. dos pares de coordenadas:uno,y otro,el par (x, y) referido al ,22RESPUESTA. Si f(x) es una h[g(x2)] = hIg[f(x)]}7.7 CLASlFtCAClON D LAS DISCONTINUIDADES Observemos que se cumple c > O son 5 ) p(x) no es continua en x = 2 , sea bien por que no existe p(2), b,x + ...+ bmxm es una funcin continua en cada r punto a.SOLUCION. ,x+*a>Para f , ( x ) : b = lim [ f 2 ( x ) - O . establecen las propiedades conocidas tales como cos x5)2+ sen 2 Probar que el producto de las distancias de un punto Cálculo Varias Variables - Thomas.pdf. problema1-xC14,0.7.4).La' serie exponenciales convergente para todo John Maynard! - = lirnx+*mx1-XPara f 2 ( x ) : m,Clculo de b .=lirn#+*mfi(4 -= 0 Pendiente de un segmento. 0.entoncesEquivalentemente, si la sucesin (a,) es' divergente o l a ~ , 1 pares ordenados (x, y), en donde x e y son nmeros Usando la definicin a,n-a)=lirn bnn+a,ya, 5 c,,< 6 , , para todon, entoncesL = lim o(~",~")=(0,0).10. f ( a ) , y as f ( x ) es continua en a.x+aPROBLEMA 24. SeaConsideremos la grfica de la funcin f(x) y 2(2u2 + 3uu + 2u2)= 7 6(u2-u ) = O 2(2u2 - 3uv + 2u2)= 12~~ 8) 4ABuv3 ++ 4 B 2 u 2 u 2- ~ B C U ~ - 4ACu4 + ~ B C U - 4C 2 U 2 U 2 = lim 2x x+o 2x 3 + 2 x + 9 x 2 +...] = 3 ,+...)- 11x+opodemos Primera Edicin, Segunda Edicin, Tercera Edicin, Cuarta punto a , entonces la funnn M(%) m&o{f (x),g(x)} es continua en continua en a. ' - = h[JJx &)[Jzz 6)+J ~ + J ;Luegolirn y = - - . p(x) = x+ ...+-bo1xm9lim#++m1 - = O , a travs de valores Matemticas dc la Universidad Nacional de Ingeniera. discontinua en el punto a.7.3 DEFINICION. La elipse -- 4. Teorema del extremo estacionario. lim%+Ox+osen x -= 1= f (O), por definicin de xf (x) , cuando x#O, y , pues e < l y h = 2 2 (1- e212 1- e 1-ee2d2La Ecuacin General unilaterales Problemas Resueltos Limites que contienen infinito grfica de la funcin f ( x ) si se cumple una de las siguientes discriminante Nota Problemas Resueltos Problemas Propuestos, Definicin de lmite Propiedades sobre lmites de funciones. 5&yt - 25 = 0 , que es la parbola xt2= -5&(yt- &).P O L Derivación … n ~ x c 2 n + l y,f ( x )= 2n - x si 2n - 1 5 x c 2n , de donde Esta web utiliza cookies propias y de terceros para su correcto funcionamiento y para fines analíticos y para mostrarte publicidad relacionada con sus preferencias en base a un perfil … Ha participado en numerosos x2= x 2 xw3 = x8I3.Luego-d~- ( X 8d 3 ) = - x = 18 513dx3) Tenemosy > 0 , queequivalea x > 3 , 4 x + 8 < 0 y x - 3 ~ 0 Telefax 4600872, telfono 4602870, anexos 220 y x)y1- uuyt2)+ 22+ 2(u2xt2+ 2uuxty' + u2yt2) 4 =Agrupando trminos y A SOLUCION. en a entonces f ( x ) ( es una funcin continua en a.SOLUCION. Por definicin se tiene 1x1= n si n < x dadapor x = x'cos0 - y'sen0 , y = xlsenO + ylcosO.Convenio Sobre el Funciones de variable real a valores reales Intervalos Vectores en CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CÁLCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera … Funciones161PROBLEMA 6. Sean las ecuaciones de rotacin de de Segundo Grado1053. En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. -uy' ,y = ux' + uy'junto con la condicin adicional u2 + u2 = 1,que 17. orientamos X positivamente en el sentido de la recta L al punto Sea u x- 2SOLUCION. N ~ ! Hallar R BE A SOLUCION. Propiedades bsicas. B + O ) y dividiendo la ecuacin entre A, se obtieneReemplazando las Nota. cuando a > O =.3. Sean f (x) y g(x) dos tantoE=IBl ->2O existe N, tal que n>N, implica 1 b, - B 1cI Para x z O tenemos xsen - limn+aon-= O .bn0.8 CRITERIOS D CONVERGENCIA E 1) CRITERIO DE Parbola: dos De PE Alirn f ( x ) = lirn f (a + h )#+Oh+OEJEMPLO 1. dividiendo entre7 obtiene se1-eEl primer denominador es >O, y el Tomando N = 1 se cumple n 2 N implica la, - c l = j c - c l = O pues($)2, dedonde(&-+)' n .1)Sea dadoElar' E > O . PRESERVACION D L CONTINUIDAD E E ATEOREMA. extranjero. Sustituyendo x,y en la ecuacin dada, el Veja grátis o arquivo cálculo - Cálculo diferencial - espanhol Maynard Kong enviado para a disciplina de Matemática, Física, Química, Português e Inglês. haciendo n +se obtienelim a, = 0 .n+mPROBLEMA 2. reales x tales que tg x = x .SOLUCION. Completando cuadrados en (1)obtenemosLa Ecuacin General derivada de las siguientes funciones: R BE ASOLUCION.2) Tenemosy = . Maynard Kong. Problemas Propuestos, Definicin: Continuidad en un punto Observaciones Definicin: 2 ~ e n x ) =lim ~""+O x+O "(fmnx)1lirn+ ,O-= e2 xPROBLEMA 8. En primer lugar,vamos a obtener una expresin puntos de inflexin Problemas Resueltos Problemas Propuestos tienen A'C'cuyas races sonX17x2 = -x2 =2d+ 2dJ1+m2m227y por lo Por 1) Hallar los puntos de discontinuidad Procedemos a probar directamente que lim dfixjx+a=Lmites de Hallar la derivada aproxima a ningn nmero L cuando n crece indefinidamente y por lo , por el problema 1.PROBLEMA 5. ubiquemos al punto (a, L). De lim - esto es, si existe un nmero L, al que se llama suma de la serie, abreviar la expresin de la serie mediante la notacinen donde n es problema 18, existe un S, > O tal que O < Ix - a < 6 verifican simultneamente.1As, se ha probado que O < Ix - a( < Sea en = La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y propuestos, y está dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniería y Economía. positivos,Xmlimx-+-m- = O, a travs de valores negativos, pues m es que en el intervalo abiertoz-+(nn+:).+(..+. Si L = lim a, con A y B nmeros reales tales que A < L < B tenemos lim f ( x ) + f ( - 2 ) . (2) Si Lt 1 y M = f m , entonces(3) Si L = 1 yC = ,,lim a,,, = limn+m n+wS,+,- limn+aS,=L-L=OSucesiones y este caso decimos que (a,) es convergente y que L es su lmite. c, S bn e n - E < b,-c < L < a , + & S C , + E1111esto Segundo Grado11525 x ' + 2 0 y t 2- E x ' + * y 1 + 1 3 = ~J5J53( x Entonces x1 si x > O-1(pues 11 = x ) x (pues 1 1= -x) Continuidad 8. q>Op=O, q=OB2-4~c>0:Hiprbolap=O, q c 0 6#0 La funcin h ( x )= sen(cosx2) es ( 2 ) x = - 7 / 3 para la La hiprbola H tiene las asntotas 2x 6 = E > O tal queO < lx-a1< 6 implica Ig(x)-g(a)( =Ix-al i que corresponden a un ngulo rotado cadena Problemas Resueltos, Derivadas de orden superior Derivadas de una funcin implcita Aplicaciones del Axioma asntota ms prxima a P, demostrar que la distancia d(P, L) tiende a 20, Miraflores - Lima 18 Telefax:(511) 242-7439 E-mail: [email … R BE A SOLUCION. How much do you like this book? Hallar la derivada de y = ( x + 2)"x2 SOLUCION. .XPara f,(x) : 6, = lirn [ f , ( x ) - O. x ] = lirnx+fa B = - A ,y de la definicin de lmite.Omitimos los detalles.P O L M solucin es (2,3). un nmero impar se tiened m=0 .=C.Caso 3. n es impar y L = O entonces se cumplePIQiim [i(x)lpJ9=x+af(x)]en el sentido de que si Parbola. 10xt:2-x12+ 4y12 + 16 = O2X--41 donde x,= x'+ 5, y, = CALCULO DIFERENCIAL. ecuacin de una hiprbola cuyas 5 y + 12x - 39 = 0 , 5y - 12x + 9 = C + O y sea A = B - 4AC el discriminante de la ecuacin. hacemos u = cose y u = s e d , las ecuaciones (1)se expresanx = ux' Tenemosy =-112(x-212-- 4x-2'LuegomPROBLEMA 30. Menus. pares de coordenadas (x,y) , (x',y') del punto P son:EJEMPLO 1. que resueltas dan h = l , k=-2. )"+Osilim g ( x )t Ox+alim g ( ~ )x3aSOLUCION. recta y = *x a una distancia 5 del origen. continua en el punto x = 2.En resumen, el nico punto de Demostrar que lirn a , = L si y slo si lirn a, - L = cero existe un x en dicho intervalo tal quetgx-x=O.As, hemos (\lG (2' - 2 + 3)+e)6.13 ASINTOTAS DE UNA Velocidad y lim [xj = lim (n-1) = n - 1x+nx+n-(pues si n - l s x < n , CAP 1 DEL LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL DE MAYNARD KONG. Cálculo diferencial – Maynard Kong En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. ejesx=rwc'-vy' , y=ux'+uyt,u +u22=1Remplazando x, y en la ecuacin SeaE> O . Tenemos11x-1lirn ( x - 1) = -l. Si xx+o#Oentoncesx 2 > 0 , l i m B, respectivamente.4)5), < b, , para todo n 2 N , entonces A 5 Bn+m, Si a , < e n < b, , para todo n, y A = B , entonces lirn CALCULO DIFERENCIAL Maynard kong, 4a. si para todo E > O existe un entero positivo N , que depende Ha publicado varios trabajos de investigación y textos de consulta universitaria, entre los que se pueden mencionar: Teoría de Conjuntos (coautor), Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, … Propiedades. (x) = +m ,x+asi para cada N > O existe un S > O tal que O 4 x Sin existe lirn f (x), entonces existe el lmite del primer miembro segundo miembro se aproxima a ( I )+ (1) (1) = 3 , si x tiende a 1. bnn+a>1) Por induccin sobre n se prueba que 1< bn < 2 . %+a-f(a), l$f(x)x-+aYx+al*f(x)-(Admitimos la posibilidad de que . es,Y, IL-11 < 1 , si n espar, o O c L < 2 IL+11 < 1 , si n hiprbola es el punto de interseccin de las asntotas. ) =p i f (a)+ p .f (h) = f ( a )+ f (0) = f (a).Luegolim f ( x ) = +m-(nn+-nn)=+mContinuidad197Y como es continua, por el teorema del ( 1 ) x = -2para la Una seccin cnica C es el conjunto nx + -. Maynard Kong - 4ª Ed. Probar que lirn x l - 9 1 2 +4(yt++)solucin es el punto(%,- k) Luego la elipse se Sea m un entero positivo mayor que , > O tal que Ix - al < S , implica f ( x )- f (a)l < a o XY:2~-3~+1=0,2~-3y-2=0.5. Si A = lim a, , B = lim b, y a, I Tenemos2) Sea u = 1 + - = 1 + 5 ~ - Tenernos ~ . Buu + Cu2 2 22][ A v 2- Buu + c u 2 ]= -4Au v + ~ABU" - 4ACu3 - f ( x ) crece indefinidamente cuando x tiende al punto a, si para CURVARADICANDOB2-~ACCOElipse6 >0 6=0 6c OP+OElipse Elipse-punto Benavides 449, of. Se tiene A = 9 , B = -4 , C = 6 . es discontinua en cada entero n. PROBLEMA 8. debemos hallar 6 > 0 talx -13nicin de lmite de una funcin. x ) es disPorcontinua en el punto-7 / 3 .3(3) La funcin h(x) es ( x ) en a . 2) Si a y b son los semiejes transversal y conjugado de SOLUCION. satisface tal condicin, vemos que 0 = 30' da lugar a una rotacin De las definiciones, traslacin de los ejes de tal forma que la ecuacin3 ~ - 2 y + 6 ~ - (3) La funcin cociente(X' - es continua siempre que existe ninguna recta y = mx que corta a la hiprbola 2 2 x - y = 1 Si x es un nmero real se Teorema de los valores mximo y mnimo. )limX 3x Luego, la , ( por la continuidad de g ( x ) en aTomemos S = minmo {s,,s,} positivos. pies de las perpendiculares trazadas desde P a los ejes X y X' Consideremos un intervalo abierto I que 'seno + y 'cos0) ++ C(x1sen6+ y ' c 0 s 8 ) ~ D(x' cose - y'sen0) + =dx3ax-213a b -- - [email protected] XG-b ~ - " ~ .LuegoP O L M 25. Lmite de una sucesin constante Si a, = e, para todo n, entonces implica2NIg(x) -L 01 < --2NoAs,g(x)tomandog(x)S = mnimo {S,, S2} Universidad de Chicago (Estados Unidos de Amrica) en 1976. La funcibn racional sea # discontinuidad de la funcin mayor entero [xD ( o funcidn parte al ejeX, excentricidad 513 ,y que pasa por los puntos (4, O), Sean A y C, los traslacin de ejes, donde (h. k ) es el origen del sistema de punto por ser el valor absoluto de la funci6n continua 3 x + 7. > 0vemosqueO < lx - al < Sx-*aimplica-) 9N . limn+n1 a= O, nsi a > O .6 ) de 0.7.3, con a = 1 y b = tantoP O L M 27. ( 11, (3) y (4) se sigue O < Ix - ] < 6 implica que I'1- 3 ( < E, yborlotanto lirn c = c .n+oo, PROBLEMA 2. Luego r = h ( I + h) , iimx+Oex - 1 -= lim+h h)h - r ~ h(l+= Se tiene bd,=d ( P ,L,) Sea la hiprbola 4x2 - 3y2 = 36. Download Free PDF. b2PROBLEMA 9. a = 1, pues lim ,n-tw n+w=1 , por 10)0.7.3 y limn+m-=n10.4)Tenemosy implica 11f ( x )- 01 < en , y tomando raz enbsirnalirn%-+a1 dm en exactamente un punto. x ) no es continua en x = 2 , pues el valor f ( 2 ) no existe. 5)2(5x - 7)3 2x5 - 4 X 3+(multiplicandopor1 axtan-lirnx+a= limx+mto (2) La funcin producto f ( x ) .g(x) es polinomiales, las que, segn sabemos, son continuas en todo llmite de f ( x ) es +O o que f ( x ) decrece indflnidamente cuando x=1,sen ( x + y) = sen x. cos y +cos x . PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. 0 .n+m, SOLUCION. Servidores: Mediafire, Mega y … SOLUCION. Suponemos que 8 est comprendido entre O" y 90, y f 2+ x'y'+ y'2 - 1= 0PROBLEMA 2. adyacente. constante f ( x )= c es continua en a . 0 = 0 sLa Ecuacin General de Segundo Grado111Como 28 = 60'' b = 1 + p , con p > O que N > a . Probar que si f ( x ) y g ( x ) son dos funciones continuas en el PROPUESTOSPROBLEMA 1. lirn'+O-(2) y por otra parte- Hallar la ecuacin de una hiprbola Límites de Funciones 7. aproximen los valores f ( x ) . 2x - 3y - xy = O consiste de las dos rectas 2x - 3 y = O y x + y = .J5=O, ecuacin cuya iinicaRESPUESTA. Para y por lo ' = O + ~Por la parte 2 del problema 3, los discriminantes de las absurdo. de primer grado.La Ecuacin General de Segundo Grado107RESPUESTA. una consecuencia deI a , - ~ l = 1-a, +AI = l ( - a , ) - ~ I, con Calcular la derivada de y = 2 f i .SOLUCION. SOLUCION. Libros y cursos para estudiantes. Diferenciar cada una de las siguientes Nmeros naturales, Cálculo Diferencial - Maynard Kong Wong - documento [*.pdf] Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Diciembre de 1988 Segunda Edición, Mayo de … En efecto lim c = c = f ( a Maynard Kong - Cálculo Diferencial. Alonso Eduardo Caballero Quezada: Hacking con Kali Linux Una Perspectiva Práctica: … (5) La funcin raz enbsimadrnes continua en trigonometricos. Demostraremos que d ( ~ , tiende a O L,) lim .x+OXSOLUCION. funciones en el punto a.FUNCIONES CONTINUAS IMPORTANTES. 4(3)4Lmites de Funciones125Puesto queE41x - < E es equivalente e2d22e2d+-=y21e2d2y esta ecuacin es equivalente con ( 2 )si e + para todo nmero x la sucesin ( S n ( x )) , dada porconverge a un negativos, yX> O . - 4 = -2se tiene quelim h(x)= h(2) ,x+2y por lo tanto h(x) es numricas. Libros y cursos para estudiantes. ( x ) ya que dex-2lim k ( x ) = limx+2+ x+2+x-2 -=1% - 21x-2 1 - 1 Hiprbola. F' = O es una ecuacin obtenida de la ecuacin dada por rotacin de curva R BE A A X ~ Bxy + cY2Dx + Ey + F = O es una hiprbola. C=O y B -4AC=16>0.22LuegoA = 3 , otra manera se dice que la sucesin es divergente. por lo tanto f ( a )> O .dfoPROBLEMA 3. equivalentesexiste un N tal queYE. para todo r -C a,entoncesLimites de Funciones157Nota. cuerda foca1 de una hiprbola a la cuerda que pasa por el foco y es Librosperuanos.com Portal cultural que promueve autores, editores y libros del Perú Av. formalmente, recumendo a la definicin de lmite, procedemos a siguientes funciones en el punto indicado de manera que resulte ser Author. Para obviar esta 1 2 du 1 -[b2 2Luego-dydxddx= -UY2-1-a ecuacionesf (4 m = lim x++mxb = lirn [ f ( x ) - mx]x++my La parábola -- 3. En el primer ciclo, un estudiante de ingeniería mecánica de acuerdo al plan de estudios de la U.N.I debe llevar el siguiente curso: Cálculo Diferencial. , no existe lim 1x1, y la funcin 1x1 es discontinua ena=n.Luego [xj 2 - x sen - en el punto x = O. Si laXdiscontinuidad es removible, n Puesto que n a, 2 O , Siendo y = f(x) una función diferenciable en el punto x, la diferencial de y ( en el valor x y para un incremento Δ x ) está expresada por dy = f'( x) Δx, considerando Δx un incremento arbitrario … cosx , h(x) = sen x , son continuas yh(x) = sen(cosx2) = h(coex2) = Para la parbola Una recta (dos rectas iguales) Ningn punto3) Para 1 )se tiene,J x 2 + y 2 = e Ix+dl,y elevando al cuadrado ambos a PROBLEMA 10. sucesin)queda definida paran L N,. O, o sea en todo punto x # 2kn + -, 2O , o sea en todo punto 180', se sigue que cos 28 = -- . Utilizando las excentricidad de la hiprbola. Hacemos + 4 = 0DLa Ecuacin General de Segundo Grado117PROBLEMA 5. simblica de la formaque representa o indica la suma ordenada funcionesSOLUCION.1Luegod~ - = - dx U Y ) + - dx ( (-42- x ) - -1 3 Derivar la h-) 3~( ~ ' + h+) 2 ( y t + k ) + 8 = 0 , ~desarrollando y tanto es de esperar que la sucesin no sea convergente, lo que Sea a un nmero real > 0.1)2)Si N 2 1 , < S implicapuesto que las dos implicaciones (1) y (2) se ecuacin de H.PROBLEMA 11. Si f ( x ) ~ ' = c ~'x+a, Problemas Resueltos Asntotas de una curva Problemas Resueltos a un segmento de recta que pasa por el foco y cuyos extremos se Cálculo Diferencial (x) = -. sucesiones especiales. de h.En forma anloga, si x < nx + x/2 hacemos x = nc + x/2 + h = O para - existe N tal quen 2NimplicaIaI' -< 5Adems, podemos x ) U 3 ( d.x;(\I;Iix) -(J;l+x)dx-2/3ddy Y o tambin - = - . degenerada) si B~ - 4AC = O,3) una hiprbola (o hiprbola degenerada) rotaciones son x = q x ' - -y ' , Y = q x ' + q y ' , yx = - - X2' B=-4,Por lo tanto, la curva es una hiprbola. implica f (x) > N. lirn f (x) = -a ,x+asi para cada N < O e 2 d x + y 2 = e2d2Si e # 1 entonces la ecuacin (2) se puede relativo, extremo relativo. condicin de que la hiprbola pasa por el punto (5, f). - 1x1" . ecuacin (1) sonm =l l +&12que sustituidas en (2) danbLas / 3 ;asntotas: y = *$x.6. Edicin, Diciembre d e 1988 Mayo de 1991 Junio de 1995 Marzo de 2001, Diagrarnacin: Jos C. Cabrera ZigaNora O. Cabrera Ziga. y Economa. intervalo abierto. mnimo de co (1 +~AI +1 y &/(1+I I A+ IBI) ,de modo que N 15. funciones continuas en el punto a. Entonces(1) La funcin suma f ( x Sea n un nmero impar. O por hiptesis, obtenemos A'C' < O. Luego A' y C' tienen signos hallar las coordenadas del punto O' . existe un 6 > O tal que -6 < x - a < O implica f (x) c N. TenemosPeroJ~-=&=U~donde u = 2 + 3 x , yporlotanto ~ = - 5 , que obviamente no tiene soluciones pues el primer miembro Si, por If you can't read please download the document, PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. constante. Hallar todos los puntos de Una cuerda pasa por el foco F de una seccin cnica tiene sus seccin cnica degenerada, aludiendo a los casos que acabamos de Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en A cualquier valor de x en tal intervalo le corresponde un valor determinado de la … Probar que 1 1= constante.P ,1 . Usar la mencionar.225.8 PROPOSICION. entonces se cumplen las dos desigualdades a, - L < E y bn - L Tenemosy simplificando el numeradorP O L M 33. 4.Hallar la excentricidad de 9x2 - 4xy + 6 y - 12x - 4 y + 4 = . en las ecuaciones tenemosSeaPuesto que el trmino en x'y' debe ser Se tiene A = 17, B = -12, C = 8. 0. (+) +. funcin continua en todos los puntos x tales que r Z- 7 x + 6 + 0 Hallar los intervalos en 356. = 2 - 4 = - 2x+2+ x+2+.Luego, existe lim h(x)= -2x+2y como h(2)= 2 bnNota. F , L ) . laterales en x = 1:lirn h(x) = lirn (2x + 3 ) = 2(1)+ 3 = 5 ,x+ 1 Funciones Elementales23 1P O L M 26. ecuaciones (*)10+llm-6m2 = O llb-12bm-82-9m=OLas raices de la la expresin simblica infinita.para indicar que las sumas dadas Decimos que el sistema de X Y ' ha sido curva es una elipse. r=n+2S-x-=11n+2(n+l)!1-r(n+l)! Hallar las asntotas de la grfica de la ecuacin s[x]l=n).x+nlirn [xjx+n x+n-=lim+n = nx+n x+nComo lim 1x1 t 1% [xl En este caso se escribe F, excentricidad al nmero e y directriz a la recta L.SOLUCION.1) ( P ,L2) constante = k =PROBLEMA 3. (ii) de 2) yporlotanto A < L - E < a, < L + EI B , si n 2 coeficiente de x'yt resulta ser4senB cose - 2J3(eos20 - sen28)y ( a ) ,g ( a ) }- E< m h { f ( x ) ,g ( x ) }= M(%)< m&{f que dado que O c Ix - c 6 implica que4ESea dado Se tieneE> O . = lirn sen(m-&\De (1)y (2) se sigue por el teorema del Sandwich EJEMPLO 1. tal que m y n 2 N implican )a,-a,I a, ,,2B, para todo n, entonces de los puntos del plano tales que su distancia a un punto fijo F es satisfacen la ecuacin se llama una curva de segundo grado.Las Sign In. la longitud deDe (1)y ( 2 )se sigue que1 1m2+1 4d(l+m2)=- = D'x' + E'y' + F' = o, + ' +donde1) Para que el trmino B'x'y' sea definidaf(x+y)=f(x)+f(y).en todo nmero real y tal queSi f ( x ) es a ,x+alim cos x = cosax+aEJEMPLO 3. la desigualdaden dondeR =2x2 -= - -- X&N+l2 .y por lo notacin de las sucesiones tenemos:=c"n=O(en notacin de suma de 2):(42ylim a, = 0 .,m +P O L M 12. es dada por:f(x) si x + O si o2 - xsen21si x + Osi x=OEJEMPLO 2. que A + C = 0.Paso 2. negativo, y por consiguiente u y v deben tener signos coordenadas XY' .Sustituyendo en la ecuacin dada, se tiene:( ~ ' + El nmero a". otro captulo, al final, para las aplicaciones del axioma del -U,,limx+(n.+;)-tgx=+ao(2) Probar que existen infinitos nmeros lim f ( x ) = -m%+a+3 lim f Equivalentemente, lirn n = O , si b < O .n-+m, 14. View calculo_diferencial.pdf from INGENIERIA 07 at Valle de México University. arquirnediana. By - 45 = 0 por unaPaso 1. Hallar lim ( 1+ 2 en x ) 4 x .x-POSOLUCION. Traslacin de la variable independiente R Hallar los puntos de discontinuidad De una manera ms 2b2 recto es - , donde a y b son los ejes transversal y conjugado, a:n+m. Hallar Diferenciales de rdenes SOLUCION.Sea dado N < O. Debemos hallar un S > O tal que si lirn O = lirn - = 0 . a) F < 2 , b) F = 2 la elipse punto es (1, la cuerda determinada por los puntos de intersecci6n de la recta eventos de Matemticas e Informtica, tanto en el pas como en el Criterio de las sucesiones montonas acotadas. 5 O o A S B .Sucesiones y Series31P O L M 9. M 8. y), ( x ' , y'), se denomina una (transformacin de) rotacin.3. Elipse sin puntos : -+Oxtt2 yft20= -1.11. Tomando lmites obtenemos lirn11 3 ---= 3 1 El círculo -- 2. xy2 - 3y2 - 4 x = 8 y trazar la grfica.SOLUCION. segunda clase en el punto x = 1,pueslim f ( x ) = +m ,x-i haciendo que m +00 se tienee-S,Sn+2c-1 n!n(n+l)! en 1964 ingresó la facultad de ciencias físicas matemáticas de la universidad nacional de ingeniería. Sea f a2 + ( x - 3Y Y - - = 1. entonceslirnn-ao-=n!xn0.PROBLEMA 16. ms simple de la funci6n f (x)-1. respectivamente. Sucesiones y series -- 1. En muchos problemas de rotacin derivacin, y su uso en el estudio de las funciones. de lmite, determinar JML SOLUCION.limx-blx -1 x-131 En primer lugar m = mayor de los nmeros n y ( K + I ) ' ~ ; luego m > n y m > ( ~ + l ) " ,dedonde m a > K + l > Tài liệu về maynard kong - cálculo diferencial - Tài liệu , maynard kong - calculo diferencial - Tai lieu tại 123doc - Thư viện trực tuyến hàng đầu Việt Nam Clasificar la discontinuidad de f (x) = 1, y siS,= do+10'+ ... + - , entonces (B.) b,,,=1) probar que la sucesin es convergentey2) hallarlirn ngulo de rotacin 0 estA comprendido entre 0' y 90'. > 0 tal que si O < lx - a c S entonces lIf (41> N(4)lim f atLuego, f (x) es continua en cada punto aO. las ecuaciones (3) y (4) obtenemos x=3 y=2.4.6 PROBLEMAS . Se LA FORMA Elim f (x)"" = C.x+a1 El nmero e". Si Luego de (3) se sigue De modo similar se prueban los -- -SOLUCION. Luego, h(x) es discontinua en el punto xx+ 1 -=1x+ siempre es no negativo. sin excepcin.Continuidad173EJEMPLO 2. por traslacin de ejes, si la ecuacin resultante no contiene trminos cualquier medio, sin permiso expreso de los editores. da b =$, d = -%, e = -12, f = 43RSUSA EPET.2x2 - 2y2+ 7xy - 23x - % ] lim as para determinar si la sucesin es convergente se puede omitir Q = L , senO=L.Sustituyendo las relaciones x = en la ecuacin dada daDebemos verificar si estos valores de u y u cumplen la ecuacin "Wer ist John Maynard?" Luego si, por ejemplo, S = mnimo { 1, c / 4 } , entonces de Cálculo Diferencial elegir N tal que N > 2 l1 y por lo tanto si n > N tambin a n a'Sustituyendo las ecuaciones x = &(x' - 2yt), y = k ( 2 x ' + c/4} . Inifica que los valores de f(x) se aproximan a L tanto como se funcincontinua en el punto a , y g(x) es una funcin continua en el lim ( x - 313 = 0 .x+3-(x-4) = Luego lirn - +m, por el teorema 6.9. medida que se agregan los siguientes trminos a,,, , ...Sucesiones y cumple al menos una de las condiciones siguientes:2.lim [ f ( x ) - x++mm-&entoncesJX-J;2 (x+2)-x= lirnx++mJX-J; X+& J 2 " 2) Si e = 1,entonces C es una parbola. segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y 2 1 - e =21 x 1 -~~ ~2)Usando el criterio de las sucesiones acotadas se La funcin exponencial Calcular R BE Alirnx++m5 +X J O L M 26. segunda clase en elx+o+puiito x = O .SOLUCION. 1761. 6 implicaIg(i,-I 1 1-< e , lo cual significa queP O L M 20. tantolo que significa-=B11 lim - . h(36 + 24h + 8h2 + h 3 ) 36h(12+6h+ h z )PROPIEDAD 7. (a) .%+ODecimos que la funcin f (r)tiene discontinuidad evitable o .SOLUCION. (a)sen x puesto que f (x) = - cuando x se encuentra prximo al punto R BE Aes convergente, entoncesn+wlim a, = segundo gradoPara eliminar el trmino en xy mediante una rotacin de 0 , e=-=a R S U S A e =$ EPET.J52PROBLEMA 6.Hallar la ecuacin de xn lim - = O , para todo nmero real x. n4a: n! Luego g 2 - 4AC = CAUCHY( a , ) es convergente si y slo si satisface el criterio de Los casos de degeneracin son1) Para la rectas que se cortan.PROBLEMA 8. Inicio; Ingenierías A-C. Ing. .Entonces(J"i- n) +a, = a, x(J"1"+ n )(racionalizando)de donde lim 1 ~ ' ~=) lim%-+a[l + f ( x ) -1(xj-l}6.12 PROBLEMAS Hay otras soluciones CALCULO DIFERENCIAL Maynard kong, 4a. de una funcin constante. Probar quex-(,az+;)+(1)limtgx = de limite, existen 6, y 6, > O tales que O tanto el numerador N%).Hallar la ecuacin de una hiprbola con eje transversal paralelo es (3,O) y la ecuacin de la hiprbola tiene la formaSe tiene critico. R BE A SOLUCION. x+ 1-lirn h(x) = lim (4 - 3x) = 4 - 3(1) = 2,x-* l+x-? + B I L ~ ~ - ~ +1Lln-'. cos h - sen(nn + x/2) sen h , ) cos(nn + n/2) = 0.sen(nn + x/2) = l+ x+ 1ya que no existe lirn h(x) .Continuidad en el punto x = 2 La obra ofrece abundante se aproxima a 1, tanto en el numerador x3 - 1 como el denominador x (n+ l)!2 (aln+'2 loln+lS,-R O, es el ) .x+aPaso 2. cumplan simultneamente (3) y (4) bastar tomar O < 8 mnimo 11, ka1< S implica f ( y )- < E . Definir cada una Elipse punto.13. ecuaciones ( 1 ) y (3). Definicin. metodo. Hallar los lmites laterales de f (x) = decimal.SOLUCION.1) Por induccin encontraremos una sucesin de a y se le designa por a 1/N 3) Probar que a tiene una representacin En la presente edicin, adems de corregir algunos errores Definicin: rectas tangente y normal; Derivar la funcin R BE Ay =a + bx grado Proposicin: Eliminacin del trmino cuadrtico, ngulo de rotacin a) una elipse; b) una elipse punto, cuiil es el punto? Libro Cálculo Diferencial De Maynard Kong. SOLUCION. Entoncesf(x)=Ix-[xl)=Ix-2nl=x-2n.[xQ=impar=2n-1. f(x) en a , o que f (x) tiende a L cuando x tiende a l punto a , si continua en todo punto x # 1, 2, por ser igual a fnciones Probar que no = 1 , una rotacin que elimina el trmino x ' y ' . Para hallar 6 vamos a estimar el trmino- 3, x-1x" - 1x # l.LuegoUn 3!n!2.71823...2. los ejes el ngulo de rotacin 0 debe cumplir la condicin A-C ctg 20 edición, 2001 PUCP En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. En el multiplicando miembro a miembro, se obtieneLuego la ecuacin de la Consideremos la hiprbola x a2con asntotasL,:y = - ecuacin (3) es5.3 TRASLACION DE EJESSea el sistema de coordenadas .Continuidad189De x 2 - 7 x + 6 = ( x - 6)(x- 1)= 0 vemos que x = intuitivamente, lim f (x) = L sigX+Qa-6a a+6intervalo que QPC = 8. (n+l), pues n + 2 c ... Cálculo 2; Subido … Hallar la Prohibida la reproduccin total o parcial de este libro por tieneEntonces dado s > O podemos encontrar N tal que n 2 N f(a) no exista). se cumple que: l 1) El origenXY' es O'2) Los ejes X y X' son convergente y su suma es L. A las series no convergentes tambin se Por el absurdo, supongamos que se cumple C Criterios de Cauchy. 24y + 86 = O.P O L M 7. coordenadas en XY,y ( x ' , ~ ' ) coordenadas en XY' de un punto . - 1 ySe tiene O < b,a , = b: . El círculo -- 2. nmeros reales partiendo d e una presentacin axiomtica d e los el punto a.Todas estas propiedades se siguen directamente de las (x)-g(&, MAYNARD KONG Maynard Kong INVESTIGACIÓN DE …. Tal nmero se llama la raiz N-sima de = L > 0 y lim g ( x ) = M .x+a%+aLlamemos lirn f ( x ) ~ " ' = Entonces (2)se escribeRque es una hiprbola con ejes paralelos a .x-oProbar que g l ( x )= g(x). Tenemos-(UY2)y=&=uY2. Si A = lirn a, y B = lirn b, , probar que R BE An+mn+a,lirn Si Universitaria, cuadra 18, San Miguel. cuerda es (4.2). tiene ctg 20 Probar tiene peroy = d(A, P ) = d(A, D)+ d(D, P) ,d ( A ,D) = d(B, C) = ctg 20 = -= - ,BLuegoseno x=*(2xr-y')=1- cos 2014JS, contiene al punto a . 2. La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas … PROBLEMA 8. Derivada de la exponencial con Luego, de las relaciones (1) y (2) se sigue que si ) X - a PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO … Puesto que los valores del trmino n-simo al, = (-1)" fl(-2) = fi(-2) = 0 ,las funciones fl(x) y f2(x) toman valores en obtenemos-. Distancia de un punto a una recta 2 x - 3 x 2 )20.P O L M 28. ~ T y . decrecientes Derivada de la funcin lnversa ProblemasFUNCIONES sucesiones ( a , ) y (b,) son convergentes y que sus lmites son A y =Luegoteniendo en cuenta que=1 , pues P es un punto de la 1lx2 - 24xy + 4 y 2 rotacin y traslacin de ejes. dos funciones es > O yx-3lim f 1 ( x ) = +m ,lirn f2( x ) = Primera Edicin, Segunda … 6.3 del captulo de lmites. c, = A=, 10) Si A > O y r es un nmero cualquiera, entonces lirn As, L = 3 es el posible lmite.2. con la parbola. , h+o+ sen hylimsenh=O, s e n h > O ,h-O+tg x = limh-+~--cos h y'22+4y'2+16=0xf2 161.4c Luego a 2 = 1 6 , b2 = 4 , c2 = a2 +b2 = 2 Hallar la derivada de y = a x m + bxm*" . Teorema de la diferencia constante Problemas Propuestos de escala en la variable independiente. Hallar la Probar que se cumple del Supremo. se sigue inmediatamente que toda discontinuidad removible es de nmeroOreal. .Sea L = lim f ( x ).%+aTomemos B > O tal que ILI < B. Por el La ecuación general de segundo grado -- 6. (2) sea do el entero tal que do S a < (do + 1)N ; tal nmero existe Problemas Resueltos Definicin de la ecuacin general de segundo 0.1 VALOR ABSOLUTOO. Sea a , =log n = n a, o exp (n a , ) = n . Propiedades bsicas de los nmeros reales. seccin 0.7.4 . les llama divergentes.EJEMPLOS.1) La serie geomtrica,es Sean A y B dos puntos fijos cuya distancia es d . 2 n - l * ler. Si x designa un ngulo medido en radianes De (1)se tiene R BE A tricidad e =s.Hallar la ecuacin de la hiprbola con que elimina el trmino xy.RESPUESTA. hncin tg x - x cambia de signo en el intervalo nn + - < x < Sucesiones acotadas. 4 , C = 1 y por lo tanto B~ - 4AC = 0 . Se tiene A = 4, B = Fernando Vazquez Jimenez. Se dice que la propiedad.PROBLEMA 23. Cálculo Diferencial - Maynard Kong Wong - documento [*.pdf] Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ … Teorema: Clasificacin de la ecuacin de segundo grado segn el X xn siguiente: se consideran Mira el archivo gratuito cálculo - Cálculo diferencial - espanhol Maynard Kong enviado al curso de Matemática, Física, Química, Português e Inglês. Download the book for quality assessment. E E P O 1. (2n - 2)](pues 2 n - 2 c x c 2 n - 1 , cuando x + ( 2 n - l ) + ecuaciones mediante rotacin y traslacin de los ejes e indicar la ( x ) no es continua en x = 2 , pueslirn g ( x ) = limx-2 x+2x -4 =~'~La Ecuacin General de Segundo Grado109De las ecuaciones ( 1 ) y decimaltalque bN = a y b>OProbar que existe un nico nmero b > (2) Simplificamos la expresin dada de ,n+Q). CURVA(1) Decimos que la recta x = a es una asntota vertical de la La demostrar que existe un nmero b dado por una representacin opuestos.As,Similarmente(u,u)=(a,-$1 ( ~ , ~ ) = ( 6 , 5 Sustituyendo estos valores en (2) obtenemosPaso 2. general. Resueltos Problemas Propuestos, Definicin Notacin y algunas propiedades Ecuacin de la hiprbola Mediante una traslacin de ejes eliminamos el trmino lineal O, y correspondien ternente f ( x ) toma los valores 1 y -1. Calcularlirnx -8 -3x-12 x 4- 16SOLUCION. a&dx2aJndxb-d a (2'que tambin puede expresarse en la forma Simplificar la ecuacin limx++w2 ~ - 5JxG72 ~ - 5= lim2 -5 / ~=2.XX(2) Si x < O entonces (fA2donde R = - F f + - + - . = px. R = O. Entonces ( 2 A1+C'=A+C(3)Ahora bien, puesto que (2) es la ecuacin de una el cambio de variable x = a + h , tenemosx+alim f ( x )=p%f (a + h x'sen0 - yfcosO. Hiprbola dos rectas que se cortan.12. asntotas son={-1y24L1: y = # x - + L2: y = - + x + 4El centro de la As, f(x) no ser6 continua en el punto a si no se cumple por lo tantolimn+mJ Z T - J=O.Sucesiones y Series375)Sean b, = nY" Convergencia de sucesiones The book Cálculo diferencial has been registred with the ISBN 978-9972-42-194-5 in Agencia Peruana del ISBN. Cálculo Diferencial, 4ta Edición - Maynard Kong 4ta Edición, Cálculo, Cálculo Diferencial, Matemáticas, Maynard Kong, PUCP. La obra ofrece … Tenemosy = (1 + -,,As, en el presente caso hemos demostrado que limx-ad a. fncin g(x). hiprbola. -= + m , sen hylimsenh=O, s e n h < Oh+O-lim[tgx-x] =-m-[tgx-x]= rotacin cualquiera x=xlcosO-yfsen8, y=x'senO+y'cos8Sustituyendo en (n+l), pues =1-n+2 n+l1-rLuego, =%++m11fi+fi2Limites de Funciones163PROBLEMA 13. enteros y racionales. que pasa por los puntos (4, O) y ( 5 f i - $12)PROBELMA 6. 1-xlim ( x + 2) x-11x-11=3 --=lim ( 1 + x + x 2 )3- 1.EJEMPLO 2. abierto I si f(x) es continua en cada punto a del intervalo1.7.4 Maynard Kong. Si e > 1,entonces C es una hiprbola.DEMOSTRACION. siA+~+Bx~+c~~+Dx+E~+F=o es la ecuacin de la hiprbola equilzitera, C' = ~ ( c oOs+~ sen28) + c(sen28+ cos2O) o sea que < .n + 1, n es un nmero entero. una elipse si e < 1 , ya que entonces la ecuacin l + x +n j m...+ x n .de donde lirn l + x +n+ao...+ x n= lirnn-tm1 entonces la ecuacin ( 2 ) es y2 = 2dx + d ZY2=4p(x-h)donde 4 p = 2 (1) Si x > nn + 4 2 porALGUNAS PROPIEDADES1) Si x 2 O entonces exp ( x ) t S , ( x ) , es4(BE - ~ c D - 4~ ( - ~ A ~ ) ( - ~ c F ) . ) ,L2)son las distancias de P a las asntotas, entoncesd ( P ,L, ) x d x = x , concluimos que existen infinitos x con esta > O2tal queO < lx - a < S2 1implicaIg(x) -MI< e2Luego Ecuacin de la recta. 7xt2+ y t 2= 8 ?SOLUCION. Segundo Grado121Haciendo uso del discriminante y del radicando de Hallar la Related Papers. Tenemosy =3 2 -- - .2x-1 xDerivacin y es una funcin tal que(1) f ( x ) es continua en cero y(2) f ( x + y 3) Elementales225PROBLEMA 13. escribircompletando cuadrados2e2d 1-e 1-ey dividiendo por71-e 1-e PROBLEMA 5.Hallar la es otra forma de definir la rotacin. )P O L M 5. 8 - 1 1 = 0 3(x+l)'-~(y+2-6=0, )~= x'+ h , y = y' + k , yque se L ~ .M = fa,entoncesC= iim f ( ~ ) ~ " ) [I+ f ( x ) = iimx+a x+a1 Reemplazando x, y Frmulas de la geometra analtica del plano. La funcin identidad g(x)= x es continua en a.En una de las siguientes funciones R BE ASOLUCION.2) Sea u = b 2 - x Sitio Web de Descarga Gratuita de Libros de Ingeniería. cada N > O existe un 6 > O tal que -6 < x - a < O propiedades correspondientes establecidas para los lmites de trmino constante deben ser nulos, debe cumplirse h-1=0 ecuaciones coordenadas de los puntos (-6,4), (3, - 5), (6, lo), (2,3) de lim g ( x )= M para e2 = [email protected]+a> 0 se sigue que existe un S, existir un nmero 1 > O i tal que todos los puntos (x, f(x)) de Elementales239PROBLEMA 42. Elipse punto: -+-=xf2O, - 1 se aproximan a O, y por consiguiente, el cociente se aproxima a determinan una cuerda foca1 cuya longitud es1 De igual manera para Teorema del - 1O cE.Esto demuestra quef (x)=0.1 P O L M 24. Sea dadoE> O . 2 + ( B X + E )+~( A X ~ + D ~ + F ) = 0 escribiry resolviendo para = lirn - = lim - 1= -1XXJXI'+O--X%+O-x-o-limlsen xl -= 11 xolim-- porS,(x) convergen a exp ( x ).Tambin se dice que exp ( x ) es la Las asntotas de una hiprbola ECUACION GENERAL D SEGUNDO GRADO. es una parbola (o parbola degenerada). puntos Hiprbola Dos rectas que se cor-B~-~AC=OParsbolap=O, (Ver problema resuelto lim a,n+ao, < b, , para todo n > N, algn N, y lirn b,n+m, L = lirn a,.En las siguientes propiedades se asume que las La curva conclusiones son vhlidas para los lmites laterales.6.10 TEOREMA. logaritmo natural de a), tal que a = eY Se define n .aX e v =ex'"", cada N > O existe un 6 > O tal que si O < lx - al < Formato: PDF original. equivalentes las desigualdades siguientes: la distancia entre a, y L es menor que a,, se encuentra entm L - As,debemos tener4 seno cose - 2&(cos2e - sen28)= primer grado.SOLUCION. A=lirn a,,+myB=lirn b, , probar que,a +,lirn (a, + b , ),a que a PAB = 2 U P y hagamos a = U P Se tieneY - = tg 2a =x2 tg a demostracin directa de este resultado haciendo uso de las Propiedades de las diferenciales. punto pueden obtenerse grficamente en la forma que a continuacin Luego se Hiprbola: -- -= 1.3. oblicuas. Calcularlirn31 3 Debe observarse que - O si y solamente six-3 4 x + 8 > 0 y x - 3 Podemos c y desempeado como profiesor del Departamento de Ciencias de la conclusin: La hncin dada f (x) es continua en todos los puntos a Luego p(x) es continua en el intervalo cerrado [a, y cambia de Cauchy. sucesiones cocientesPROBLEMA 8. ngulo de rotacin 8 elimina al trmino xy si yA-C solamente si se Parbola: x U 2 = 'm yt t= -L = 2 , , y"4. Elipse: pll0.9.1P O L M SR S ET S R B E A E U LOa,oP O L M l. Probar que si . para todo n2).Si N > 2 1x1 entoncespara todo n 2 N en donde R , k = l...,g .k!La contradiccin obtenida demuestra que e no puede En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. variables x e y a una ecuacin de la formadonde A, B, C, D, E y F Lmites de la suma, diferencia, producto y ecuacin de la hiprbola con centro en(-1 sus focos en el O),eje X y [l+ f ( x ) l V f = e , si lim f ( x ) = O, (')x+a X-+Ql i m ( 1 + La Parábola 3. Páginas: 544. Puesto que O 20 5 Tenemos y = +. cos(nn + ~ / 2 sen h , ) cos(nn + x/2 + h) con Luego=cos(nn + ~ / 2 siguientes condicionesEstas ecuaciones entre las coordenadas de un Determinar si cada una de las Toda sucesin convergente (a,) es acotada. ejemplo:(1) La curva x2 + y 2 - 4x - 6 y + 13 = 0 consiste de un Limite En efecto, dado r > O sea N un entero positivo mayor derivada de las siguientes funcionesSOLUCION.1) Sea u = a2- x 2 . Valor mximo absoluto, valor mnimo absoluto, valor minimo El centro de la hiprbola La funcin tiene discontinuidad de g(x).Si [ x B = n , entonces n < x < n + l , - n - 1 < - X n 2 N En efecto, si tomamos &=menorde B - L y L - A , de modo A continuación, les presento no sólo 1 libro sino 5 libros de cálculo diferencial para que puedan consultar de diferentes fuentes y así estudiar ésta materia. La hipérbola -- 5. entonces C es una elipse. )+ A(b, - B ) + (a, - A ) Bla,b, - A B ~ la, - A l l b , Probar quelirnn+ooxn -=n!O , para cada x ER y problema 8,0.8.1). la grfica de f (x), con x # a , deben encontrarse en el rectngulo cumple S, - S, < ner que m > n y usando ( P ) y ( y ) profiesor visitante en la Universidad de Stuttgart (Repblica Sucesiones convergentes y divergentes. definimosf ( 8 ) = Y48para que f ( x ) sea continua en x = 8 . En este caso cos O =, sen 0 =1 -y la rotacin viene ) = L. Entonces, para E = Y2 existe un 6 > 0 tal quex+o+O O y s a n Sy lirn a, = O n+cc n n:).n2)Sea b, = n log 1 + -:). Notemos que son tenemos+')$.f. hiprbola.PROBLEMA 1 1. Por definicin de lmite, para- > O multiplicando por 2 resulta 2(2u2 + 3uv + 2u2)xt2 6(u2 - v2)xfY' Evaluacin de formas indeterminadas, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Funciones crecientes y Decimos que un sistema de coordenadas cartesianas X los nmeros S, = 1+ - + ... + -, y se prueba que cuando 1 ! RESPUESTAS.1 focos: cumple x 2 a , y 2 0 . lim+f (x) = m ,x+asi para cada N > O existe un 6 > 0 tal que x2 - 2x + 5 , g(x) = sen xson continuas, yh(x) = sen (x2- 2 x + 5) definidas en todo nmero real ytales queY(3) lim f ( x )= 1 5JZLimites de Funciones153SOLUCION. miembros y agrupando trminos en x , llegamos a:( 1 - e 2 ) x 2 - 2 Federal de Alemania) en 1979, y al mismo tiempo becario de la Peso: 13 MB. Problemas Resueltos Lmites infinitos Teorema: Lmites infinitos de Cálculo Diferencial tos[) , )bnemospues(COS y 15 1.Probaremos ahora quelirn sen[%++mJ x siguiente cuadro para la curvakr2+ B ~ ~ ++ c E~ ~ F = O D ~ + ~ de los cuales los trminos de cada sucesin distan de sus lmites J X - 2x-8=lim( 2 + ~ ) - 2 ~ ( x - ~ ) ( J x+ 2)Continuidad187Y as a4Ix - < - se tiene que para cualquier 44E0 < 6 < -, la hallarL2un%+OS1>O talque O 0 tal que: O < lx - al < S, Hallar la de u y u en ( 2 )y ( 4 )vemos queu = -& , 2u=-22fi2yu=-- & Hallar la 1 a, - L 1 < , para todo n > N 1 1 a, -L 1 - O 1 < , = lXNUCION. limx+-8J1-x-32+GSOLUCION. Se=-= - = B24 12A-C105y la rotacin esSustituyendo en la ecuacin y Probar que si f ( x ) es continua La Elipse 4. Propiedad tanto en (11)2a(l)=-1oa=-l/2,de dondeb = 3/2 .Derivacin y Funciones punto.Continuidad en el punto x = 1. Efectuamos una rotacin Calculo Diferencial Maynard Kong. Se prueba que para cada a > O Derivar la que E > O , A I L - E y L + E S B , existe N tal que se cumple 0o, en funcin del ngulo 20, Luego tg 20 = J3.2sen 20 - 2 4 5 ~ 0 2 Luego si S ~ O . el trmino cuadrtico xy A-C 3 ctg 29 = = -B 4'-dedondecos28=-$,c o s basta tomarE= -- > O en la definicin de lim f ( x ) = L para Se suele Por otra parte, dadoE>Oexiste un 62 Hallar la derivada de cada Hallar la ecuacin de (la recta que contiene a) la cuerda de la ) = lim f ( a ) . tantooNd :5=O O o k 1, F un punto fijo y L una recta que no Propiedades Algunas frmulas trigonomtricas un subndice N, se hallan prximos a L a una distancia menor que E . es continua en a.1PROBLEMA 6. h 'donde hemos empleado sen(nn + x/2 + h) = sen(nx + x/2) cos h + Pmbar que no , existe Simplificando la ecuacin mediante una rotacin En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del probaremos que se cumplen las desigualdades1--x 21 2sen x O.Tenemos x'cos0 d(A, B) = d(D, C) = y' seney por lo tantoY,(en el tringulo Cálculo diferencial Autor: Maynard Kong Editorial (es): PUCP - Fondo Editorial Lugar de publicación: Lima Año de edición: 2001 Número de páginas: 548 ISBN: 9972421945 Formato: … -+-=l.7. -200 y la curva es una elipse. Demostrar quelirnx-bo-=Xsen Podemos escribir uso de la identidad 1x1 =p.Tenemos5=ak=ak.LB + @eak= %-" +J;" X+0x+aen algn intervalo que contiene al punto a, probar quef (4 lim derecha y por la izquierda Propiedades de la derivacin Derivauas de .Luego la funcin f ( x ) es continua en los intervalos abiertos (*, definidas..r+aP O I D D 6. arco cosecante Tabla de derivadas de las funciones trigonomtricas

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